戰國時期中山國中山成公陪葬墓出土的骨算籌。 河北博物院供圖

算籌，又叫籌、策、算子，是人們用來計數、列式和進行運算的“籌算”工具，比算盤的出現要早2000多年。算字一作“筭”，從字形上看，有擺弄小竹棍的意味，實物形態類似於我們常見的不起眼的小棍兒、竹簽，其重要價值卻足以在光輝燦爛的中國古代數學史上熠熠生輝。

其實，“數”的概念產生得很早，學者唐蘭先生曾指出仰韶時期骨契上的刻畫符號，很可能模仿了當時人們的計數方式。而新石器時代遺址中也發現了一定數量的刻畫和彩繪符號，已具備“計數”功能。到商周時，巫人佔卜手持的“策”，便是算籌，而“八卦”便是用算籌排列出來的。可以說，算籌在萌芽伊始，便具有佔卜、計數的功能。商代末期的算籌計數已經有了縱橫兩種形式，具備了位值制的意義，到戰國晚期趨於完整，至漢魏時成熟。

自20世紀50年代以來，考古發掘中陸續出現了多批戰國、秦漢時期的算籌實物，更是揭示了算籌的面貌：一根根同樣長短和粗細的小棍子，多用竹子制成，也有用木頭、獸骨、象牙、金屬等材料制成﹔一般長約13厘米，徑粗約0.2厘米，隨著時間的推移，配合運算的日益復雜，算籌形制也逐漸由長變短、截面也由單一的圓形變成方形、三角形。結合文獻記載，它們有的是歷法運算時用來復雜籌算的，一般與筆、硯、墨、削一類的文具和計算相關的度量衡等同時出現，西漢《急就篇》就有“筆硯籌算膏火燭”的說法﹔也有佔卜游戲時用以簡單計數的，多與博具盒等游戲用具一同被發現。

河北博物院展陳中就有這種“初代計算器”——戰國時期中山國的算籌。其中，中山成公的陪葬墓出土有一捆骨算籌，45根細長的圓棍兒，多數是淡黃色，也有少數發白或呈淡青色，是用來運算的工具。為什麼是一捆呢？很好理解，人們將算籌捆起來，甚至有專門的“算袋子”，可以系在腰間，方便隨身攜帶。秦始皇扔的算袋化為“算袋魚”的故事便與此有關。按《漢書·律歷志》的記載，用來計算的算籌多則有“二百七十一枚”為一握，即西漢時人們已經用算籌進行較為復雜的運算，一捆算籌多達271根！實際上，像成公墓這樣一捆45根左右的算籌，處理日常生活中一般的計數運算已經足夠了。

算籌遵循十進位制，按《孫子算經》的記載，成熟的算籌“凡算之法,先識其位。一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當”，即以縱橫兩種排列方式來表示1—9的數目，表示多位數時，個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，以此類推，遇零則置空。劉徽在《九章算術》中標注的“正算赤、負算黑”，也隨著神禾原戰國秦陵墓出土的象牙涂色算籌的發現得到了實物例証。

算籌不但可以用來擺成各種形制進行加減乘除四則運算，古人還用算籌來進行諸如開方、二次三次方程等復雜運算以及特定的演算。如《九章算術》“少廣”章就記載了開平方的算法——算籌擺三行：上行是平方根，叫“商”﹔中行是被開方數，為“實”，下行是開方過程中去除“實”的數，稱為“法”。三行之下還要放一根籌，叫“借算”，其運算原理與現代開方基本一致。

算籌作為我國最初的計算工具，直到明代中晚期才被算盤完全取代。不過，由此發展起來的籌算數學並沒有消失，而是順應著人們對計算速度和准確性的要求不斷提高，催生了高速計算器，造就了中國數學計算技術的發展繁榮。

（作者單位：河北博物院，本報記者邵玉姿採訪整理）

《 人民日報 》（ 2024年10月06日 06 版）

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